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脑力小体操:见好就收还是赌一把前程

来源:网络整理 作者:华侨时报 发布时间:2020-01-25
摘要:明者远见于未萌,而知者避危于无形

majer @ 2020.01.13 , 10:00

脑力小体操:见好就收还是赌一把前程

前几年我曾太监了一本玄幻网文,里面有个情节是,穿越过去的男主,完成宗门考验心性和决断力的试炼之旅。

试炼规则:不准回头,只能一路向前;道路两旁散落了各种天才地宝,宝物之间有品级优劣之分,而试炼者拾起任何一件宝物,就无法再接触其它宝物。

主人公应该如何抉择呢?捡起看到的第一件宝物,无疑是愚蠢的。当他遇到了一件心动的宝物,是应该见好就收,还是继续前进——赌一把前路上未知的机缘?

好吧,或许有些朋友知道,上面的情节设计其实来自著名的寓言故事——苏格拉底的麦穗。

传说古希腊哲学大师苏格拉底的3个弟子曾求教老师,怎样才能找到理想的伴侣。于是苏格拉底带领弟子们来到一片麦田,让他们每人在麦田中选摘一支最大的麦穗——不能走回头路,且只能摘一支。第一个弟子刚刚走了几步便迫不及待地摘了一支自认为是最大的麦穗,结果发现后面的大麦穗多的是;第二位一直左顾右盼,东瞧西望,直到终点才发现,前面最大的麦穗已经错过了;第三位把麦田分为三份,走第一个1/3时,只看不摘,分出大、中、小三类麦穗,在第二个1/3里验证是否正确,在第三个1/3里选择了麦穗中最大最美丽的一支。

数学家不满足于寓言故事中折射出的人生智慧,他们更想知道:当事人是否存在理性最优解。

在概率及博弈论上,苏格拉底的麦穗也被称为秘书问题(Secretary problem),或相亲问题、止步问题、见好就收问题、苏丹的嫁妆问题、挑剔的求婚者问题等。据说曾被微软用作面试题目。

你去相亲/招聘,有n个候选者。每次见一人,线下见面后要及时决定是否继续联系,如果当时不决定,他/她便会删除联系方式。见面后能清楚了解对方的合适程度,并能和之前的每个人做比较。问,什么样的策略,才能以最大概率与最佳对象交往。

按维基百科,问题的最优解是一个停止规则。在这个规则里,面试官会拒绝头 r - 1 个应聘者(令他们中的最佳人选为 应聘者 M),然后选出第一个比 M 好的应聘者。可见最优策略包含于这个系列的策略中。(如果M在所有n个应聘者中也是最好的一个,那么这个策略将选不出任何人选)对于任意的截断值 r,最佳人选被选中的概率是:

脑力小体操:见好就收还是赌一把前程


求和符号内概率的计算是基于:如果应聘者 i 是(所有应聘者中的)最佳人选,他被选中当且仅当头 i - 1 个应聘者中的最佳人选处在头 r - 1 个被拒绝的应聘者中。令 n 趋近无穷大,把 x 表示为 r/n 的极限,令 t 为 i/n,dt 为 1/n,总和可以近似为如下积分:

脑力小体操:见好就收还是赌一把前程

对P(x),可以求出其极值点x=1/e,此时P=1/e,约为0.37。e为自然常数。结果就是,当n足够大的时候,你应该把前37%的候选者当做是参考,在之后的选项里,只要出现优于前面所有的对象,就不应错过。最佳抉择的概率约等于37%。

注意,因为用到了积分的过程,所以现在的答案实际上是把离散对象连续化的极限结果,与实际上的最佳截断位置有细微的差异。

问题的衍生版
·选择者可选多于一人
·求职者的数目未知
·求职者之间的关系可影响选择
·被拒绝的求职者有一定几率能被叫回来
·选择者满足于次好的人

衍生的问题,就相当复杂了。实际上,如果求职者的数目未知,那么结果依赖于求职者人数n的可能分布模式。

如果n是均匀分布,那么达到最佳抉择的可能性只有2/e^2。

责任编辑:华侨时报